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Sources imprimées

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1873

xxx. Comptes-rendus des conférences de l'association des instituteurs de la circonscription de l'école normale Jacques-Cartier. Montréal, Eusèbe Senécal, 1873. 35 p. ISBN 0-665-04099-7.

[Conférence prononcée devant l'association entre le 1er mars 1857 et le 27 mai 1864]:

4°. Doit-on préférer le système des notes au système des livres pour l'enseignement de l'arithmétique, de la géographie, de l'histoire générale, de la littérature, des notions de physique? (Discussion).

[p. 9].

[Conférences prononcées devant l'association entre le 26 mai 1865 et le 26 mai 1871]:

2°. Laquelle des deux grammaires, ou celle de Bonneau ou celle des Frères, est-elle préférable?

3°. Laquelle des deux grammaires, ou celle de Poitevin, ou celle de Chapsal, est-elle préférable?

[...]

6°. De toutes les grammaires françaises en usage en ce pays, spécialement celle de Bonneau, des Frères, de Julien, et de Poitevin, quelle est celle qui répond le mieux aux besoins de nos élèves?

7°. Quelle Géographie peut être enseignée dans nos écoles avec le plus d'avantages?

8°. Quelle est la meilleure série de livres de lecture français en usage dans nos écoles?

[...]

12°. Serait-il à propos d'introduire dans nos écoles françaises des livres d'épellation, à l'instar de ceux qui sont en usage dans les écoles anglaises?

[p. 16]

[Discussion sur l'enseignement oral le 30 août 1872]:

M. Cassegrain n'est nullement hostile à l'Enseignement oral: il en apprécie, comme ceux qui l'ont précédé dans la présente discussion, les nombreux avantages. Il s'oppose, néanmoins, à ce que l'on mette le livre complètement de côté, et fait voir que l'instituteur qui serait trop exclusif dans la mise en pratique de cette méthode, se priverait ainsi d'un précieux auxiliaire.

[p. 33]

SÉANCE DU JOUR

Des Lectures seront données par M. l'inspecteur Valade, et par MM. D. Boudrias et Tétrault.

La question suivante sera discutée:

Doit-on exiger de l'élève les réponses mêmes du texte, ou bien l'équivalent?

Discutants inscrits: M. Pelletier, pour l'affirmative, et M. Trudel, pour la négative."

[p. 35]

1873

Baillairgé, Charles. Géométrie, toisé et tableau stéréométrique: lecture faite devant la société littéraire et historique de Québec 20 mars 1872. Québec, C. Darveau, 1873. 36, 24 p.

(Baillairgé commence par des considérations générales sur la géométrie).

"Le tableau stéréométrique.

J'arrive maintenant à l'objet pour ainsi immédiat de cette lecture, à celui qui, peut-être, m'a procuré jusqu'à un certain point, l'honneur d'une invitation, de la part de la Société Littéraire et Historique de Québec, à lecturer [sic] dans l'enceinte classique de ses salles. Je serais heureux d'avoir pu traiter ce sujet d'une manière à justifier la courtoisie d'un auditoire aussi nombreux et aussi capable d'apprécier, d'avoir pu quelque peu intéresser l'élite, l'aristocratie, si je puis m'exprimer ainsi, de la partie instruite et intelligente de cette ville, qui a bien voulu m'honorer ce soir de sa présence et de sa gracieuse et délicate attention. Je veux parler du Tableau Stéréométrique que vous voyez devant vous, et dont il me faut vous dire quelque chose, même au risque de paraître partial pour moi-même. Ce Tableau, qui se compose de quelque 200 modèles dont chacun peut être retiré et remplacé à volonté, et mis entre les mains de l'élève afin qu'il en fasse l'examen, comprend presque toutes les formes élémentaires qu'il est possible de concevoir. Parmi ces formes se trouvent celles que je viens d'énumérer, comme les prismes et prismoïdes, les cylindres et cylindroïdes, tous deux droits et obliques, ainsi que leurs troncs et onglets; les pyramides, les cônes et conoïdes, droits et obliques, avec leurs troncs et onglets ou sabots; la sphère avec ses subdivisions en hémisphère, quart de sphère, demi-quart de sphère ou pyramide tri-rectangle, segments, zones, troncs et onglets, et beaucoup d'autres sections de ce solide; le sphéroïde allongé ou aplati, avec leurs nombreuses sections et subdivisions; les fuseaux et leurs sections, renfermant des modèles de futailles de toutes espèces; les cinq polyèdres réguliers, aussi appelés corps platoniques, quoiqu'ils fussent connus avant Platon. Il y a aussi une foule d'autres formes variées telles que les cônes et autres solides convexes et concaves, et leurs troncs et onglets; les anneaux concentriques et excentriques, et un certain nombre de figures composées des solides élémentaires que je viens d'énumérer, ou capables d'être subdivisés en ces solides.

Mon but dans la préparation de ce Tableau a été de généraliser et de rendre facile et populaire l'étude des solides, et la manière d'en mesurer les surfaces et les solidités ou volumes. Les faces latérales ou côtés et les bases ou bouts opposés ou parallèles de ces solides produisent toutes les figures planes, depuis le triangle, le carré et le [22] polygone jusqu'au cercle, l'ellipse, la parabole, etc., avec leurs secteurs, segments, zones et lunes constituants. Vous avez déjà appris à calculer la superficie de ces figures. Les modèles donnent aussi des exemples de superficies convexes, comprenant le triangle et le polygone sphérique, la lunule et le segment, et toutes leurs parties constituantes. La manière d'arriver aux superficies de ces figures est de les assimiler à des figures planes au moyen d'une division de la surface concave ou convexe par des ordonnées équidistantes décrites de l'extrémité de l'axe fixe du solide, ou de celui autour duquel on suppose que la courbe génératrice a tourné en décrivant le solide. La distance entre les ordonnées dont chacun, d'après la description que l'on vient de donner, est, évidemment, un cercle ou partie de cercle, est rendue si petite qu'elle permet à l'arc intermédiaire d'être considéré comme une ligne droite ou à peu près. Les figures ainsi décrites sur le solide sous considération sont ou des zones, ou des parties de zones continues, et doivent être considérées comme des trapèzes - la première étant continue, les autres ne l'étant pas, ou ne l'étant qu'en partie. Maintenant, pour obtenir la surface d'un trapèze, qui, comme je l'ai déjà défini, est une figure plane avec deux côtés parallèles, - ces derniers peuvent, comme de raison être circulaires ou courbes aussi bien que droits, - la moitié de la somme des côtés est multipliée par la distance perpendiculaire entre eux, ou par la hauteur ou largeur de la figure; et la même règle appliquée à la surface courbe que l'on doit calculer s'exprime ainsi: à la moitié de la somme des longueurs des ordonnées des bouts - c'est-à-dire, de la première et de la dernière - ajoutez la somme de toutes les autres ordonnées ou de tous les arcs ou cercles, et multipliez le tout par la distance entre les ordonnées ou par la largeur de la zone composante. La longueur combinée des cercles ou circonférences s'obtient aisément en multipliant la somme de leurs diamètres par 2 1/7, ou plus correctement, par 3.1416. Cette règle, comme je l'ai appliquée (page 669 de mon traité de géométrie) à une hémisphère de 263 unités de diamètre, et avec seulement quatre ordonnées ou cinq segments ou zones, donne le résultat à moins de un par cent de la vérité; tandis qu'avec neuf ordonnées, l'erreur du résultat n'est que la sixième partie de un par cent; et avec 19 ordonnées, ou 20 sections, la 1/40 partie de un par cent, ou moins de 1/4000 du contenu vrai. Non pas que j'insiste, cependant, sur cette méthode de mesurage pour les surfaces convexes ou concaves, où il y a d'autres règles qui, comme dans le cas de la sphère ou sphéroïde parfaite, ou des segments de ces corps, en donne les surfaces courbes exactes; mais le grand et manifeste avantage de ce système général est, que son exactitude est indépendante de la forme du corps que l'on doit mesurer; tandis que si la règle pour une sphère, par exemple, était appliquée à un corps qui ne serait pas [23] strictement sphérique, l'erreur du résultat serait de beaucoup plus considérable que si l'on employait le système des ordonnées équidistantes, - pour ne rien dire du grand avantage pour le mesureur pratique de n'avoir à charger sa mémoire que d'une règle générale applicable à tous les cas, la même que celle pour les figures planes; par suite de quoi toutes les surfaces ou superficies, planes ou convexes, se trouvent par une seule et même formule, savoir: une subdivision, par des lignes parallèles et équidistantes, en figures dont chacune est un trapèze - continue ou non-continue, il n'importe. Il reste maintenant à calculer les volumes ou contenus cubiques des solides du Tableau, qui, comme je l'ai déjà dit, comprennent toutes les formes élémentaires connues; et c'est ici que je revendique spécialement l'introduction d'un système de mesurage qui n'est pas exact d'une manière approximative dans son application à la grande majorité des formes géométriques, mais dont l'exactitude absolue est prouvée et hors de doute. La règle est simplement ce qu'elle veut être, comme elle est imprimée en tête du tableau, i.e. «A la somme des surfaces des bases parallèles, ajoutez quatre fois la surface intermédiaire, et multipliez le tout par 1/6 de la hauteur ou de la longueur du solide.» Le mot «parallèle» est introduit à la mémoire pour rappeler que les extrémités ou bases opposées doivent être contenues entre les plans parallèles, ou, si elles ne le sont pas dans le principe, elles doivent le devenir par la subdivision ou la décomposition du solide en ses éléments constituants. Par conséquent toute la difficulté est réduite, par mon système, au mesurage des surfaces des bases opposées et de la section intermédiaire, le reste de l'ouvrage n'étant qu'une simple multiplication; de sorte que la formule proposée rend cette branche d'étude d'une application si facile et si générale que l'art ou la science peut maintenant s'enseigner en quelques leçons tandis qu'il fallait autrefois des mois ou même des années. Prenez, par exemple, le segment d'un conoïde ou d'un sphéroïde coupé par un plan incliné dans un sens quelconque vers l'axe du solide, une figure telle que le présenterait l'espace occupé par une substance liquide ou fluide dans un vaisseau de cette forme incliné à l'horizon; examinez le travail préliminaire qu'il faut tout d'abord, par les anciennes règles, pour trouver l'axe ou les diamètres du solide entier dont le segment sous considération fait partie, et ces facteurs sont nécessaires comme éléments dans le calcul. Mon système dispense de tout cela, et le solide, quel-qu'il soit [sic], est pris et soumis à un mesurage direct, sans qu'il soit en aucune manière nécessaire de rechercher la grosseur ou la forme du corps dont il est une section. Mais il y a une autre raison pour laquelle cette étude est souvent exclue de l'éducation générale, c'est que, par les règles ordinaires, les calculs les plus difficiles sont souvent indispensables, que même lorsqu'on a appris ces calculs, on les a [24] presque aussi vite oubliés, et que ces règles ordinaires sont alors de bien peu d'utilité, si même elle le sont, au mesureur pratique, même lorsqu'il a sous la main tous les livres et toutes les données nécessaires pour résoudre le problême [sic].

On peut objecter que pour le prisme et le cylindre, par exemple, la règle ordinaire est même plus simple que la formule générale. Sans doute elle l'est; mais elle découle elle-même directement et immédiatement de la formule. Prenez un prisme: je l'ai défini d'égale largeur partout; alors sa section intermédiaire, ou toute autre, rendue parallèle à la base ou bout, est égale en superficie à telle base; et le raisonnement dit que six fois cette surface par un sixième de la hauteur se réduit à l'énonciation bien plus simple de une fois la surface par toute la hauteur. Encore, dans le cas de la pyramide ou du cône, le diamètre ou la largeur intermédiaire est exactement la moitié de ce qu'il est à la base; et comme la moitié de la moitié, ou le produit de 1/2 x 1/2, est 1/4, donc la surface intermédiaire est le quart de celle de la base. L'élève qui a déjà appris cette règle la saisit d'un coup d'oeil, ou se le rappelle aussitôt, et raisonne ainsi: quatre fois la surface intermédiaire est égale à la base; et deux fois la base (car la surface supérieure ici est zéro) par 1/6 de la hauteur est identique à la règle ordinaire de une fois la base par 1/8 de la hauteur, ou 1/8 du produit de la base et de la hauteur. Il y a encore un cas où l'ancienne règle ou la règle ordinaire paraît plus simple que la formule générale; c'est lorsqu'on a à mesurer un paraboloïde, dont le volume est exactement la moitié de son cylindre correspondant.

Mais ici nous en avons fini avec les avantages comparatifs des anciennes règles, et dans tous les autres cas la formule est excessivement plus simple. Prenez, par exemple, le tronc d'une pyramide; et tout d'abord comment savez-vous que c'en est un, sinon en mesurant les arêtes supérieures et inférieures et en comparant les longueurs respectives pour trouver - ce qu'il faut faire - s'il existe entre elles une juste proportionnalité; autrement le corps n'est pas un tronc de pyramide, et par conséquent n'est pas sujet à la règle? Mais supposons même que ce soit la figure pour laquelle vous la prenez, voyez-vous le trouble d'obtenir une moyenne proportionnelle entre les surfaces de ses bases opposées, ce qui renferme une multiplication un peu longue de ces surfaces et une extraction de la racine carrée du produit assez pénible et que peu de personnes savent faire? Qu'il est bien plus facile d'arriver à la moyenne arithmétique des diamètres opposés et à la surface intermédiaire! Et si la figure est le tronc d'un cône, les trois diamètres sont carrés, le carré de celui du milieu est pris quatre fois, et le tout est multiplié, c'est-à-dire, leur somme par .7854, (ce qui réduit d'un seul trait tous ces carrés en autant de cercles) et le résultat par 1/6 de la hauteur du tronc; et comme ce calcul doit se répéter tous les jours, dans toutes les parties [25] du monde, en calculant le contenu des tonneaux et des cuves de toutes espèces et de toutes grandeurs imaginables, l'économie de temps et de trouble mérite certainement la plus grande considération.

Mais supposons que ce prisme ou ce cylindre, cette pyramide ou ce cône, ce conoïde, ou ce tronc, ne soit pas exactement une telle figure; qu'il diffère de la manière la plus légère possible de ce qu'il doit être pour qu'il puisse être soumis aux règles ordinaires - alors si l'on se sert de ces règles pour en calculer le contenu, adieu à toute exactitude, puisque les éléments mêmes par lesquels le corps diffère de son prototype géométrique - c'est-à-dire, son diamètre intermédiaire - n'est en aucune manière pris en considération; tandis que la formule générale, au contraire, comprend cet élément variant sans cesse, cette largeur intermédiaire entre le sommet et le fond du tonneau ou d'une cuve, entre la bonde et le fond d'un baril, et donne un résultat plus exact, dans 99 cas sur 100, que tout autre système où l'on ne fait pas attention à cet élément important et indispensable de variation. En ce qui regarde la sphère ou le sphéroïde, chacune de ses bases opposées est un zéro de superficie, vu qu'un plan ne peut y toucher que par un seul point, et la somme des surfaces dans ce cas est quatre fois la surface du milieu. Et vous pouvez voir immédiatement comme cela est correct, car par les règles ordinaires on vous enseigne à multiplier la surface convexe de la sphère par 1/ [illisible] d'un rayon; mais cette surface convexe est précisément égale à quatre fois la section du milieu, ou à quatre cercles de la sphère, et 1/8 du rayon est la même chose que 1/6 du diamètre ou de la hauteur, - de sorte qu'ici encore vous voyez, comme dans le cas du prisme ou du cylindre, de la pyramide ou du cône, la preuve directe de l'exactitude de la règle. Maintenant, prenez un hémisphère: on démontre facilement que la surface intermédiaire est exactement les 3/4 de celle de la base; et comme quatre fois 3/4 font 3 et 1 font quatre, quatre grands cercles multipliés par 1/6 de la hauteur de la demi-sphère donne, comme de raison, la moitié de la solidité que l'on vient d'obtenir, ou celle de l'hémisphère sous considération. La même chose est vraie pour la sphère aplatie ou allongée, ou pour le sphéroïde et l'ellipsoïde, et leur moitié, et cela, que le plan d'intersection ou la base soit perpendiculaire ou non à l'un des axes du solide; et les surfaces qui entrent comme éléments dans le calcul du contenu cubique sont toujours des ellipses, et, de plus, ce sont des ellipses semblables ou proportionnelles; de sorte que dès que l'on connaît un des diamètres de la section du milieu, on peut immédiatement trouver la surface par une règle de Trois, puisque, comme je l'ai déjà démontré, les surfaces des figures semblables sont proportionnelles aux carrés de leurs dimensions correspondantes quelconques. L'exactitude [26] de la formule appliquée à tout autre segment ou zone d'une sphère, est entièrement démontrée au paragraphe 1529 de mon traité de Toisé; de même que son extrême rapprochement de la vérité, dans les cas des fuseaux ou de leurs troncs, aux paragraphes 1531 et 1574; et son exactitude absolue dans le cas de tout segment d'un sphéroïde, dans le paraboloïde, ou l'hyperboloïde, droits ou inclinés, du paragraphe 1560 1567 de mon ouvrage.

Maintenant, on est curieux peut-être de savoir comment m'est venue cette idée de traiter tous les solides comme des prismoïdes par cette seule et invariable formule; le voici: prenant le prismoïde ordinaire, j'en trouve la définition comme suit: - «Tout solide ayant pour bases opposées des rectangles à ces côté parallèles; et, par extension, tout solide ayant pour bases parallèles des plans parallèles avec des côtés parallèles.» Maintenant, veuillez remarquer que la seule condition exprimée ou contenue dans cette définition d'un prismoïde est le parallélisme des côtés, et rien de plus. Un tel parallélisme n'exclue pas la proportionnalité des côtés; alors, pour moi, le tronc d'une pyramide est un prismoïde; et c'est ce que personne avant moi, du moins que je sache, ne paraît avoir imaginé; car je n'ai jamais vu dans aucun traité la formule prismoïdale appliquée au tronc d'une pyramide ou d'un cône. Examinez encore le prismoïde rectangulaire, et comme aucun rapport des côtés n'est compris, soit le rapport infini; ou en d'autres termes, laissez l'un des côtés parallèles approcher de l'autre jusqu'à ce qu'ils se joignent et forment une seule ligne, ou bord, ou arête; et alors nous avons le coin qui est, par conséquent, un autre prismoïde. Encore, que ce côté ou cette ligne, ou cette arête diminue et diminue encore jusqu'à ce qu'il devienne un simple point; et alors nous avons une pyramide, qui est aussi un prismoïde à tous égards. Et puisqu'une ligne ou côté peut devenir un simple point, de même, réciproquement, un point peut devenir une ligne, - et par suite un prismoïde, d'abord carré ou rectangulaire, peut voir l'une de ses bases ou tous les deux, modifiées en une variété presque infinie de figures semblables ou dissemblables, comme je l'ai démontré de la page 713 à la page 718 de mon traité; et sur ce je suis arrivé à l'énonciation plus générale qu'un prismoïde peut avoir pour bases parallèles deux figures quelconques, égales ou inégales, semblables ou dissemblables; une figure quelconque et une ligne parallèle à son plan, comme dans le coin; une figure quelconque et un point, comme dans le cône et la pyramide; et deux lignes non parallèles, mais situées dans des plans parallèles. On peut donner d'autres définitions plus courtes que celle-là, plus techniques et plus scientifiques, telle que le «le prismoïde est décrit dans l'espace par la révolution d'une ligne droite autour de deux plans parallèles d'une forme quelconque, sans égard aux vitesses relatives des deux extrémités [27] de la ligne génératrice». Mais la première donne la meilleure idée de la forme du solide, vu qu'elle définit la figure de ses extrémités ou bases.

Vous verrez en l'examinant que le tableau offre une grande variété de formes, par exemple, une base offre un carré, l'autre aussi un carré d'une grandeur plus considérable ou moindre, mais tourné diagonalement par rapport à l'autre, la base du milieu offre un octogone. Nous avons encore les prismoïdes ou cylindroïdes dont une base est un cercle, l'autre une ellipse, ou deux ellipses de grandeur égale ou différente, le plus long diamètre de l'une correspondant au diamètre le plus court de l'autre. Et l'on peut concevoir d'autres formes d'une variété presque infinie, et la formule, pour toutes, sans exception, donne le véritable contenu cubique, chaque modèle montrant d'un coup d'oeil, au moyen d'un trait que l'on peut y voir, la nature et les dimensions de la section du milieu. Un mot sur les polyèdres réguliers qui se trouvent aussi parmi les modèles du tableau. Il n'y a que cinq de ces corps, ce qui est assez étrange; et cependant la conclusion en est immédiate, car il faut au moins trois plans pour faire un angle solide; et comme la somme de ces angles plans doit être moindre que 360º, ou quatre angles droits, vu qu'autrement l'angle solide cesserait alors d'exister et deviendrait une surface plane, il suffit d'examiner quels sont les polygones réguliers, dont les angles, pris par trois, par quatre ou par cinq, etc., font un angle moindre que quatre angles droits. Le triangle équilatéral peut s'assembler par trois, par quatre et par cinq, ce qui donne le tétraède, l'octaède et l'icosaèdre. L'on ne saurait en prendre six, vu que six fois 60º = 360º; et par conséquent nous ne pouvons avoir aucun solide régulier dont les faces soient des triangles équilatéraux, que les trois que je viens de nommer. L'angle droit ne peut s'assembler que par trois; deux ne renfermeraient pas un espace, et quatre formeraient un plan; de là résulte que le cube parfait est le seul solide que l'on puisse former à faces carrées. Enfin, le pantagone [sic] dont l'angle est 108º, donne le dodécaèdre ou figure à 12 côtés, dont la somme des trois angles est 324º. L'hexagone régulier ne peut former un polyèdre vu que son angle est de 120º et que trois formeraient quatre angles droits, comme vous pouvez le voir en examinant l'arrangement exquis de la ruche, ou la symétrie non moins belle que l'on voit dans le nid de la guèpe [sic] ordinaire. A fortiori, alors, on ne peut employer les heptagones ou tout autre polygone pour bâtir ces solides; et de là encore, comme je viens de le dire, il ne peut y avoir que cinq, et seulement cinq, de ces formes platoniques. Quant à la manière de les mesurer, le cube ou l'hexaèdre est un simple prisme, le tétraède, une simple pyramyde [sic], l'octaèdre, deux pyramides base à base, et les deux derniers, les figures à 12 et [28] à 20 côtés, composés [sic]d'autant de pyramides, ayant leur sommet commun au centre du solide ou de la sphère imaginaire qui le circonscrit, par suite de quoi le calcul de ces pyramides composantes donnera le volume du tout.

Quant au mesurage des figures composées, comme le tronc d'un cône ou d'une pyramide, ou de tout autre corps, entre des bases qui ne sont pas parallèles, le solide se résout ou se décompose, par une section parallèle à la base et passant par le bord inférieur de la base supérieure du tronc, en deux parties, dont une est un tronc propre, l'autre un onglet, ou une pyramide, ou quelque autre figure, selon le cas. La bouée ordinaire se résout ainsi en un cône et segment de sphère; un mortier, en tronc de cône ou cylindre, avec un hémisphère ou segment de sphéroïde; le dôme Turc ou Maure, ou pinacle, en flèche, en tronc central d'une sphère ou d'un sphéroïde, surmonté d'un cône creux ou concave, et ainsi de suite. Si l'on propose un cône sphérique, il est évident qu'on peut le concevoir et le traiter sous deux aspects - d'abord, comme un cône propre, avec l'addition d'un segment de cette sphère dont le cône forme partie; ou (et ceci s'applique à toute pyramide sphérique, ou tronc de pyramide ou de bombe, ou sphère creuse, ou partie quelconque d'un obus,) à la somme des surfaces des bouts, sphériques qu'ils soient, ajoutez quatre fois la surface parallèle et du milieu, et leur somme multipliée par 1/8 de la hauteur sera le contenu vrai. Comme de raison, je n'ai pas besoin de faire remarquer qu'en opérant avec une sphère ou une bombe creuse, on arrive plus promptement au résultat en appliquant la formule aux sphères intérieure et extérieure ou sphères composantes, et en prenant la différence.

J'ai dit que la formule s'applique exactement et par la démonstration à la grande majorité des solides. De cela on doit sans doute comprendre qu'il y a quelques exceptions, comme dans le cas des onglets et fuseaux, mais de même la futaille ou tronc du milieu d'un fuseau se mesure avec une exactitude presque parfaite - disons au quart ou 1/10 ou 1/20 de un par cent, ou à un demiard près sur un tonneau (voyez pages 707, 708 et 709 de mon traité) en opérant sur sa moitié, ou en prenant le diamètre de la bonde comme celui d'un des bouts ou bases, et pour la surface du milieu celui qui en est au quart, ou intermédiaire entre le fond et la bonde, - de même, dis-je, que l'on réussit ainsi, de même on peut obtenir une exactitude presque absolue pour l'onglet de tout solide par une subdivision du corps en tranches parallèles, dont deux ou trois suffisent généralement, ou quatre ou cinq, quand on veut la plus complète exactitude, de la même manière que l'on approche de plus en plus de la circonférence de tout cercle dont le diamètre est connu, en prenant plus de décimales. L'on peut également décomposer et mesurer les cônes ou cylindres creux [29] ou concaves, on convexes ou renflés, ou tout autre corps qui n'est pas une véritable figure géométrique, en se servant toujours de cette simple formule, toujours la même, et l'appliquant dans tous les cas imaginables, sans avoir besoin d'en apprendre d'autres et de s'en charger la mémoire. Les subdivisions, les plans de section, décomposants [sic] peuvent être faits équidistants, et le grand résultat auquel on arrive est cette règle universelle, cette formule unique, qui mesure tous les solides et toutes les surfaces; car, quoique je n'aie pas encore fait allusion à ce fait, on peut démontrer - bien plus, il est prouvé - que lorsqu'on coupe des figures planes, des surfaces, par des ordonnées équidistantes, la superficie de chacune des parties composantes est égale à la somme de ses bases et quatre fois la base ou section intermédiaire multipliée par 1/6 de la hauteur de la figure. Maintenant si l'on divise un solide quelconque par une série de plans équidistants, et une surface quelconque par une série semblable de lignes, équidistantes en parties d'égale hauteur, et si l'on imagine des sections intermédiaires dans l'un ou l'autre cas, on a la formule universelle que leurs contenus, solides ou superficiels, selon le cas, sont égaux à la somme des bases extrêmes, joint à deux fois la somme de toutes les autres bases des bouts, et quatre fois la somme de toutes les sections intermédiaires par 1/6 de la hauteur commune; les bases et les sections étant, comme de raison, superficielles ou linéaires, selon que la figure renferme l'espace, ou est une simple surface, plane ou courbe qu'elle soit. J'ai déjà parlé de la tendance à la généralisation que l'on remarque presque pour tout: dans la physique et la chimie tous les phénomènes sont soumis, pour ainsi dire, à quelque loi ou règle générale, universelle. On peut dire que les pouvoirs mécaniques n'en constituent qu'un seul, et sont, dans tous les cas, semblables, sujets à cette loi, que ce qu'ils donnent en pouvoir, ils le perdent en temps ou en espace. L'unité de mesure, le mètre, s'impose par tout le monde et à la suite viendront une unité pour toutes les surfaces, et une unité pour toutes les capacités. C'est ainsi que se simplifient le numéraire et l'argent courant. Complétez le projet, et à l'uniformité et à l'identité de l'unité, ajoutez un mode général de calcul; alors nous aurons non seulement l'unification de la monnaie, comme on le propose en France, projet habilement appuyé dans cette Puissance, par notre concitoyen R.S.M. Rochette, Escr., mais ce sera le projet universel, la grande unification et la généralisation de toute science, une langue universelle, au moyen de laquelle les nations pourront conférer, converser entre elles - et un jour, une religion, un berger, et un troupeau, - le millénaire enfin. Mais voyez-vous les immenses avantages de cette généralisation? En voyez-vous les conséquences étonnantes? Examinez le temps qu'il faut, de toute nécessité, aujourd'hui, consacrer à la simple réduction et à l'interprétation de toutes ces règles et [30] de toutes ces unités qui varient sans cesse; elles remplissent mille volumes, tandis qu'on pourrait employer avec beaucoup plus d'avantage le temps et le travail que l'on consacre à leur compilation, à l'étude de nouvelles sciences et de nouveaux arts qui mèneraient à une plus grande somme de bien-être et de bonheur pour l'humanité.

Maintenant que nous avons pour ainsi dire jeté un coup d'oeil sur toutes les figures du «Tableau» avec leurs contours plus ou moins réguliers, leurs surfaces planes et courbes, il s'élève encore une question; «Comment peut-on mesurer les corps irréguliers de toutes espèces, tel que la statuaire, les bronzes, les sculptures et autres?» Et afin que cette lecture, en autant que les bornes d'une lecture peuvent le permettre, puisse être complète, et parcourir tout le champ annoncé dans le titre, il me faut, en quelques mots, donner les informations nécessaires. Il est très facile, et de fait plus facile d'arriver au contenu cubique d'un corps très-irrégulier qu'à celui d'un corps de forme plus exacte; car, avec celui-ci on s'efforce toujours de mesurer directement, tandis qu'avec celui-là on suit un procédé mécanique, qui résout le problème d'une manière plus expéditive et plus satisfaisante. Prenez une statue ou toute autre figure sculptée, ou le chapiteau d'une colonne Ionique ou Corinthienne et un vaisseau carré ou cylindrique capable de le contenir. Versez de l'eau dans ce vaisseau jusqu'à ce qu'elle atteigne le sommet de l'Objet à mesurer, et marquez la hauteur de l'eau; ensuite retirez l'objet, et marquez encore la hauteur de l'eau, la différence vous donnera immédiatement le volume cherché. Si la substance du corps ou celle du vaisseau qui le renferme est d'une nature absorbante, employez du sable ou quelque autre substance au lieu d'eau. Il y a encore d'autres méthodes d'arriver à ces conclusions correctes. La gravité spécifique d'un corps est son poids comparé à celui de l'eau. Supposez alors que l'on ait préparé des tables où le rapport de chaque substance soit donné avec son équivalent d'eau, ou son poids absolu sans égard à l'équivalent; prenez sur la voie publique une pierre informe, et pesez-là [sic]; comparez-en le poids par la règle de Trois avec celui d'un pied, ou d'un pouce, ou d'une verge cube de la même substance, et vous arriverez ainsi à son contenu cubique. Réciproquement, si l'on cherche le poids de quelque objet que l'on ne peut soumettre à un calcul direct en le mettant dans une balance, mais si l'on peut arriver à son volume, on peut alors aussi s'assurer de son poids par une simple règle de proportion.

Maintenant, supposons que l'on veuille trouver les quantités constituantes de quelque corps composé ou amalgame. Par exemple, vous avez un mélange de cuivre et de zinc fondus ensemble et solidifiés en un corps compacte [sic], sans trace d'aucune des parties constituantes; le poids de chacun des métaux respectifs peut être soumis à un calcul direct, les facteurs ou les éléments qui entrent dans la formule [31] requise étant simplement le poids spécifique aussi bien du composé que de chacun des éléments dont il est formé. Et il en est de même d'une masse de quartz et d'or; et quoiqu'on ne voie qu'une petite partie du précieux métal, ou qu'on n'en voie même point du tout, on peut arriver au poids de l'or avec une facilité comparative. On dit que Hiéro, Roi de Syracuse donna à un habile ouvrier une quantité d'or avec laquelle il devait lui fabriquer une couronne; mais soupçonnant, lorsque la couronne fut finie, que le bijoutier avait soustrait une partie de l'or et l'avait remplacé par de l'argent, il soumit la question à Archimède afin de'avoir son avis. On ne connaissait pas alors les gravités spécifiques; mais il paraît que notre philosophe, étant au bain, réfléchissait au moyen de résoudre pour le mieux la proposition sur laquelle le Roi l'avait consulté. Remarquant la différence de poids qu'il y avait entre son corps plongé dans l'eau et ce qu'il était en plein air, il conçut l'heureuse idée de soumettre la couronne à un semblable calcul, et après avoir pesé la couronne elle-même dans l'eau, et ensuite l'argent et l'argent pur, il trouva, par facile calcul, que, comme le Roi l'avait justement deviné, la couronne était réellement d'or et d'argent, au lieu d'or seul. Notre philosophe fut si content de la découverte qu'il avait faite qu'il courut les rues de la ville en criant: «Eureka! Eureka!» - «je l'ai trouvé; je l'ai trouvé.»

On pourrait croire que le mot «Stéréométrique» ajouté au «Tableau» indique qu'il a seulement et entièrement pour but le toisé, tel n'est pas cependant le cas. Il est de suite évident qu'il doit être aussi d'une grande utilité pour acquérir et donner la connaissance de la nomenclature des solides, de leurs formes et de leurs figures variées, lesquels, sans cette aide, nécessiteraient une familiarité préalable des principes et des enseignements du dessin et de la perspective. Les modèles suggèrent à l'Architecte, à l'ingénieur, et au constructeur, les formes et les proportions relatives de pâtés de maisons, de toits, dômes, jetées, quais; de citernes, réservoirs et chaudières; de cuves, tonnes et autres vaisseaux de capacité; de terrassement de toutes espèces, comprenant les déblais et remblais de chemins de fer et autres; le fût de la colonne Grecque ou romaine; le plançon le tronc d'arbre en grume, le billot; la tente à camper, l'ouverture ébrasée ou non d'une porte ou d'un châssis, niche ou meurtrière dans une muraille; Le [sic] quart de sphère ou de sphéroïde, le demi-segment la voûte du chevet d'une église ou d'une salle; la sphère entière ou le sphéroïde, la bille de billard ou le boulet d'un canon; ou sur une plus vaste échelle, la Terre, la Lune, le Soleil, les Planètes. Les modèles seraient aussi du plus grand secours pour enseigner la perspective et la projection géométrique des solides sur un plan; aussi les nuances et les ombres qu'ils projettent. De plus ce tableau facilite [32] considérablement l'art du développement géométrique des surfaces. Il y a aussi le triangle polaire, et autres lignes nécessaires à l'étude de la trigonométrie sphérique.

Le temps seul dira si mes efforts pour réduire en un système simple et uniforme les règles multipliées et si compliquées que l'on emploie aujourd'hui pour trouver le contenu des solides ou la capacité des surfaces renfermant l'espace, seront couronnés de succès; car si ce système a le mérite d'être neuf, il a aussi le désavantage de la nouveauté, comme disait M. Scott Russell de l'ingénieux hélice inventé il y a quelques années par le commandant Ashe, ex-président de cette société. Le monde scientifique, aussi bien que le monde politique, a ses idées conservatrices. Nous n'avons pas encore bien appris les avantages de l'arithmétique décimale; et l'on n'a pas encore abandonné le calcul fatigant des louis, chelins et deniers pour le système plus expéditif de la piastre où le simple déplacement d'un point fait des merveilles. Il faut beaucoup de temps pour opérer une semblable révolution - une génération pour ainsi dire; mais j'ai confiance que je n'attendrai pas aussi longtemps pour être compris, si j'en juge du moins par les nombreux et flatteurs témoignages que j'ai déjà reçus concernant les avantages multiples de mon invention ou de ma découverte.

Le conseil de l'Instruction Publique, à sa dernière assemblée générale, a nommé un comité, composé de l'Archevêque de Québec, l'Evêque Langevin, de Rimouski - lui-même un maître accompli dans cet art - et l'Evêque Larocque, de St. Hyacinthe, pour faire un rapport sur la question. Et ce comité, j'ose l'espérer, après lui avoir soumis les opinions si favorables de tant de nos meilleurs mathématiciens, et d'autres juges compétents, tels que D. Wilkie, R.S.M. Bouchette, les professeurs de l'Université Laval, le High School, le collége [sic] Morrin et d'autres établissements d'éducation du Canada et d'ailleurs, ne manquera pas de recommander l'introduction du «Tableau» dans toutes les écoles de cette Puissance. Je viens de recevoir une lettre du ministre de l'Education du Nouveau-Brunswick, me demandant de lui envoyer un «Tableau» dans le but, dit-il, de l'introduire dans toutes les écoles de cette Province. Non pas cependant que je me propose de me borner au Canada. Au contraire, j'ai pris un brevet pour mon «Tableau»,aux Etats-Unis, où j'espère l'introduire; et M. Vannier en m'écrivant de France le dix janvier dernier, pour m'informer de l'octroi de lettres patentes pour ce pays, ajoute que MM. Humbert et Noé, le président et le secrétaire de la société pour la Généralisation de l'Education en France, ont exprimé leur intention de me faire conférer à leur prochaine assemblée générale, quelque marque de distinction pour le bien [33] que mon système va indubitablement produire en faveur de l'Education.

L'Honorable M. Chauveau, ministre de l'Education, et d'ailleurs bien qualifié pour juger, «se fera un devoir,» comme il le dit sans sa lettre sur le sujet «d'en recommander l'adoption dans toutes les maisons d'éducation et dans toutes écoles, certain qu'il est de son utilité pratique.»

M. Maingui, du Séminaire, écrit: -«Plus on étudie, plus on approfondit cette formule du cubage des corps, plus on est enchanté de sa simplicité, de sa clarté, et surtout de sa grande généralité.» M. Bigelow, M.A. «Croyant mon système d'une utilité universelle se prêtera de bon coeur à son introduction.» McQuarrie, B.A. «Sera heureux de voir le vieux et ennuyeux procédé remplacé par une formule aussi simple et aussi exacte.» D. Wilkie dit: - «La règle est précise et simple, et étant applicable à presque toutes les variétés de solides, abrégera considérablement les procédés du calcul. Je me suis» ajoute-t-il, «assuré de son exactitude dans son application à plusieurs corps. Le Tableau, comprenant une grande variété de formes élémentaires, servira admirablement à former l'oeil, et facilitera grandement l'étude du toisé. Le gouvernement rendrait un véritable service aux écoles moyennes et élevées, en leur procurant une collection aussi utile.» Le Professeur Newton du Yale College, Massachusetts, considère le Tableau «Un arrangement très-utile pour montrer la variété et l'étendue des applications de la formule.» Le Collége [sic] de l'Assomption «adoptera mon système comme partie de son cours d'étude." Le Rév. T. Boivin, de St. Hyacinthe, dit: - «Votre découverte est précieuse, et je recommande fortement l'adoption de votre tableau.»

Il y a d'autres personnes qui sans considérer l'exactitude comparative de la formule, ou ses avantages dans son application au toisé, mais voyant l'immense avantage pour l'élève et le professeur entre les modèles et leur simple représentation sur la planche ou le papier, ont, dans leur opinion écrite, tout particulièrement fait allusion à ce trait du système proposé. M. Joly, Président de la branche de Québec de l'Ecole des Arts de Montréal, dans une lettre à M. Weaver sur le sujet, et après en avoir été lui-même témoin en plus d'une occasion, dit, dans son style expressif: -«La différence est énorme.» Les professeurs de l'Ecole Normale sont de la même opinion; et il y en a d'autres qui évaluent diversement l'économie de temps, par mon système, de douze à dix-huit mois.

La formule prismoïdale n'est pas nouvelle: il y a longtemps qu'elle est connue, et on l'a quelquefois employée pour calculer le [34] prismoïde rectangulaire, aussi bien que les formes familières des déblais et des remblais des voies ferrées et des canaux; mais personne ne paraît avoir eu l'idée de l'appliquer même au tronc de cône ou de pyramide, auquel je dois nécessairement le croire, on ne savait pas qu'elle s'appliquât, - autrement, simple comme elle est, bien plus simple et plus directe que le théorème de Legendre, elle aurait fait son chemin avant ce jour dans des traités sur le toisé et autres semblables. Elle n'a jamais été non plus employée, que je sache, pour calculer le segment d'une sphère ou d'un sphéroïde, ni à un grand nombre d'autres formes bien connues; de sorte que, sous ce rapport, de même que pour un grand nombre d'autres solides auxquels on n'a jamais cherché à l'appliquer, je puis en réclamer vraiment la découverte. Et même si l'idée de cette application s'était jamais présentée à d'autres personnes, comme on l'a quelquefois fait entendre, elles ne paraissent pas en avoir fait l'expérience, ou être arrivées à quelque conclusion utile, pas plus que le premier homme qui, en voyant la vapeur s'échapper par la pression du bec de la théière, ne conçut l'idée que tel agent pourrait exécuter les prodiges que nous connaissons; et la vapeur ne fut jamais utile en pratique tant que Watt n'eut pas inventé l'engin à vapeur, ni l'électricité tant que Morse n'eut pas découvert la télégraphie. Admettant cependant que cette formule était découverte avant moi, et que je n'ai fait que la dégager de la poussière des ans ou la re-découvrir, il y a encore peut-être quelque mérire [sic] à réclamer, Adams et Leverrier ont droit tous deux à la découverte de la planète Neptune; et Leibnitz n'a pas été privé de l'honneur de son calcul intégral et différentiel quoique Newton l'eût de plusieurs années précédé dans cette voie par la découverte des «fluxions»." (Suivent la retranscription de témoignages élogieux pour le Tableau.)

1873

Baillairgé, Charles. Geometry, mensuration and the stereometrical tableau: lecture read before the Quebec litterary and historical society, 20th march, 1872. Québec, C. Darveau, 1873. 44 p.

1873

Ouimet, Gédéon. Rapport du ministre de l'instruction publique de la province de Québec, pour l'année 1872 et en partie pour l'année 1873. Montréal, La minerve, 1873. xvi, 81 p.

"Je pense [...] qu'il serait fort à propos qu'ici comme dans le Haut-Canada, on établit un dépôt de livres d'école, cartes géographiques, livres de lecture pour les bibliothèques etc., dont l'écoulement pourrait s'effectuer à des prix très- réduits, le département ne tenant qu'à se rembourser du coût de ses achats, lesquels seraient toujours au plus bas taux, grâce aux quantités considérables qu'il prendrait à la fois.

Déjà mon prédécesseur a tenté d'établir le dépôt dont je parle. Mais il s'est trouvé arrêté dans ses vues par un certain esprit d'opposition contre lequel il n'a pas cru devoir lutter ouvertement, persuadé que le public intéressé dans la question viendrait bientôt à comprendre tous les avantages d'une telle innovation. Le fait est là devant nous pour le prouver, et c'est à cela que le Haut-Canada doit en grande partie le succès de ses écoles." (p. vii).

1873.03

xxx. "Avis officiels", Journal de l'instruction publique, 17, 3(mars 1873):42-43.

"Concours pour la publication d'une série de livres de lecture en langue française pour les écoles catholiques.

Sur la recommandation du comité spécial de la section catholique romaine, chargé d'aviser aux moyens de pourvoir à la publication d'une série de livres de lecture en langue française, pour les écoles catholiques romaines, il a été résolu à la dernière réunion du Conseil de l'instruction publique d'ouvrir un concours à cet effet, et ce concours est actuellement ouvert aux conditions suivantes:

1° La série devra se composer de cinq livres, trois pour les écoles élémentaires, et deux pour les écoles modèles et les académies.

2° Chacun de ces livres devra contenir, le premier, environ cent cinquante (150) pages; le deuxième et le troisième environ deux cent cinquante (250) pages; le quatrième et le cinquième, environ trois (300) cents pages: les trois premiers devront être de format in-18 et les deux derniers, de format in-12, la série de Lovell devant servir de type pour la partie matérielle. Dans les trois premiers livres, chaque leçon devra être précédée de colonnes de mots à épeler et suivie d'un petit résumé sous forme de questionnaire.

3° Les sujets devront être traités d'une manière graduée et comprendront ce qui suit: Pour les trois premiers livres, des morceaux de littérature en prose et en vers, choisis au point de vue moral et religieux; des articles courts et faciles à retenir, sur l'histoire et plus particulièrement sur l'histoire sainte et l'histoire du Canada, et sur l'agriculture spécialement appropriée aux besoins du pays; et, pour les deux derniers livres, des morceaux de littérature et de poésie d'un ordre plus élevé, choisis au même point de vue moral et religieux; des articles sur les mêmes sujets, mais plus étendus; et, en sus, des articles sur les sciences, les arts et l'industrie.

4° Les autres conditions du concours sont comme suit:

1.- Les manuscrits doivent être adressés au secrétaire du Conseil de l'instruction publique, avant le 1er septembre 1872.

2.- Après que le Conseil, sur la recommandation du comité catholique romain, aura approuvé la série de livres qui aura été déclarée la meilleure par les juges, il en prendra le droit de propriété littéraire d'après la loi et en concédera l'usage à l'auteur ou aux auteurs pour l'espace de cinq années.

Québec, le 15 Novembre 1871.
L. Giard,
Secrétaire-archiviste.

N.B.- Par une résolution passée le 6 septembre 1872, le conseil de l'instruction publique a étendu la publication de cette série, jusqu'au 1er mai 1873.

L. Giard,
Secrétaire-archiviste." (p. 43).

1873.03

xxx. "Bulletin bibliographique", Journal de l'instruction publique, 17, 3(mars 1873):44.

"- Larue, Hubert: Petit manuel d'agriculture à l'usage des cultivateurs. Edition spéciale publiée par l'ordre de l'hon. Ministre de l'agriculture de la province de Québec, 68 pages in-18; imprimerie de C., Darveau, Québec, 1872. Nous avons déjà eu occasion, à plusieurs reprises, de dire combien nous estimons ce petit volume et combien nous voudrions le voir lu et étudié par tous nos cultivateurs."

1873.04

xxx. "Avis officiels", Journal de l'instruction publique, 17, 4(avril 1873):57.

"Concours pour la publication d'une série de livres de lecture en langue française pour les écoles catholiques.

1° La série devra se composer de cinq livres, trois pour les écoles élémentaires, et deux pour les écoles modèles et les académies.

4° Les autres conditions du concours sont comme suit:

1.- Les manuscrits doivent être adressés au secrétaire du Conseil de l'instruction publique, avant le 1er septembre 1872.

Québec, le 15 Novembre 1871.
L. Giard,
Secrétaire-archiviste.

N.B.- Par une résolution passée le 6 septembre 1872, le conseil de l'instruction publique a étendu la publication de cette série, jusqu'au 1er mai 1873.

L. Giard,
Secrétaire-archiviste." (p. 43).

1873.09

xxx. "Bulletin bibliographique", Journal de l'instruction publique, 17, 9(septembre 1873):137.

"Eléments de la grammaire française de L'Homond, entièrement revue, corrigée et augmentée, par J. B. Cloutier de l'école normale-Laval. Québec, Elzéar Vincent, imprimeur-éditeur, 1873, in-12, 72 pages.

Nous avons lu avec plaisir ce petit traité qui est clairement et correctement rédigé. La grammaire - et surtout la grammaire française, qui est peut-être la plus difficile de toutes - a besoin d'être constamment rappelée au souvenir de celui qui veut bien parler et bien écrire sa langue. Le traité de M. Cloutier, quoique fait, apparemment, pour les commençants, pourra cependant être consulté avec fruit par ceux qui aiment à avoir sous la main un résumé bien fait et habilement coordonné de la grammaire française. Mais il a surtout sa place marquée d'avance dans les écoles où maîtres et élèves ne pourront pas manquer de l'apprécier comme il le mérite." (p. 137).

1873.11

"Bulletin bibliographique", Journal de l'instruction publique, 17, 11(nov. 1873):169.

"Eléments de la grammaire de Lhomond, revus et augmentés par Napoléon Lacasse, professeur à l'école normale Laval, 1 vol. in-12, 68 pages; Québec, C. Darveau, imprimeur-éditeur.

Nous avons reçu cet ouvrage trop tard pour en rendre compte dans notre dernier numéro. C'est d'ailleurs un excellent petit traité, bien fait et soigneusement coordonné. Il possède sur les autres l'avantage d'un supplément très-important. Le travail typographique est bien fait. M. Lacasse fait actuellement imprimer un manuel d'exercices français en rapport avec cette grammaire, laquelle a été approuvée à la dernière réunion du conseil de l'instruction publique, de même que celle de M. Cloutier." (P. 169).

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